學習筆記：傅里葉變換

技術理論的學習，那是有趣共枯燥一色，暈菜與理解齊飛。最近久好電子的一個技術學習小組就深有體會。然而一點一滴的、不斷的學習中，每個人都是收獲滿滿。我們一起來看看某學霸這一周的讀書筆記。

【第三章 傅里葉變換    作者：李曉強】

首先從內容的銜接上來總結本章內容----只要滿足狄利赫里條件的周期信號，都可以用傅里葉級數來表示；傅里葉級數可以用三角波形式給出；如果利用歐拉方程替換三角波，又可以用指數形式表示；如果將級數中的每一個信號的頻率提取出來，將相應頻率的幅值表示到平面坐標中，這個離散的頻率-幅值坐標面我們稱之為幅度譜；將三角波每個頻率成份的相位表示到平面坐標中，這個離散的頻率-相位坐標平面稱之為相位譜。

不得不感嘆，這種周期信號的表示方法完美到令人窒息，用傅里葉級數的頻譜方式表示任意周期信號，可以包含此信號的所有信息，而這就是頻域。

周期信號（加條件）用傅里葉級數可以完美的表達，那么非周期信號怎么辦？事實上，如果一個周期信號當它的周期趨向于無窮大，那么這個信號我們認為它非周期，所以只要對周期信號進行傅里葉級數展開，同時對其周期求極限，那這個“周期無群大”的信號也能展開成一個傅里葉級數。反過來說，非周期信號也可能存在傅里葉級數，這種周期無群大信號的傅里葉級數展開稱之為傅里葉變換。

仍然用頻譜的方式來觀察一個周期信號傅里葉級數，會發(fā)現(xiàn)當周期信號的周期加大時，其譜線的X 坐標密度增加，如果周期被極限為無窮大，頻譜的密度則無限密，變得連續(xù)起來。

敲黑板：

此時不能將這種極限狀況演化下的結果稱為連續(xù)頻譜，因為對于一個非周期信號而言，其總歸是有一定能量，如果直接用連續(xù)的頻譜，其能量是就是每個頻點的相加，這樣就會存在一個矛盾，連續(xù)的頻譜是無限頻點，而幅度是一個有限值，這樣信號的能量就變?yōu)榘l(fā)散值。

如果考慮了傅里葉級數的前提，周期雖然趨向于無群大，頻譜依然存在，只是頻譜間隔變?yōu)闊o窮小，這樣得到的頻率-幅度的平面坐標稱之為密度譜，其物理含義就是：任意一點的頻率值趨向于0（因為頻率寬度0），但是一段頻率的能量值仍然有效。

? 周期信號的傅里葉級數

周期信號的傅里葉級數的展開及其系數的計算，幅度譜和相位譜的計算，如果用歐拉公式將傅里葉級數展開，要理解復頻域的概念，其頻率會產生負的部分，實際這是用指數表示三角函數過程中數學運算的結果，如果將相位加入，那么π相位為負幅值。

傅里葉級數在工程應用中由于頻率無法達到無限值，當頻率有限時，其級數就存在一個方均誤差。

? 傅里葉變換及典型的非周期信號傅里葉變換

將周期信號的周期取極限得到傅里葉變換，反向思維，如果要求一個非周期函數的傅里葉變換，可以先求相似的周期信號的傅里葉級數，然后將周期取極限。門限函數的傅里葉變換是Sa 函數

? 沖激函數和階躍函數的傅氏變換

沖激函數的傅里葉變換是1，也就是說理想的沖激函數包含了任何頻率信息，其幅值是1，稱之為均勻譜。如果對門限函數的門限寬度取無窮極限，就得到直流信號的傅里葉變換是沖激函數。階躍信號的傅里葉變換是一個沖激信號和反比例函數的合成，所以我們總是以沖激函數和階躍函數仿真系統(tǒng)的響應特性，因為其頻率成份足夠多。

? 傅里葉變換的基本性質

對稱性、疊加性、奇偶虛實性、尺度變換性、時移特性、頻移特性、微積分特性。

? 卷積定理

時域卷積定理：時域的卷積就是頻域的相乘

頻域卷積定理：頻域的卷積是時域相乘除以2π

? 周期信號的傅里葉變換

傅里葉變換求得信號的連續(xù)密度譜，而周期信號的傅里葉變換的譜線離散的，這時候只能用沖激函數的能量無限來抵消頻率離散所帶來的能量計算問題。進一步，如果求的周期信號的傅里葉變換，將其與沖激函數來求卷積，那么很容易求得周期信號的傅里葉級數系數。

? 抽樣信號的傅里葉變換和抽樣定理

本節(jié)屬于傅里葉變換的應用范疇，根據前章的鋪墊，如果用一個信號fs 采樣一個信號fi，實際上就是這個信號fs 對被抽樣信號fi 的卷積，那么根據時域卷積定理，可以分別求其傅里葉變換，然后在頻域相乘得到頻域信號，最后經過傅里葉反變換得到采樣信號的時域信號。

抽樣定理又稱為奈奎斯特采樣定理，也就是采樣頻率fs 至少是被采樣信號fi 的2 倍，才有可能無失真的恢復原信號。